整点物理。

题目来自费曼物理学讲义习题集

题目1.7

在你面前有大量铁球——直径全部是$d$，以及一个容器——体积是$V$。在任意维度上，容器的长度都远远大于铁球的直径，问把铁球放到容器中，最多可以放进多少个？

解答

看起来像是平面密铺问题。

密铺的话，任意两个球肯定是相切的。所以只需要考虑球与球之间间隙浪费了多少空间就可以了。

平面上，一个圆最多和6个圆相邻，这是因为任意三个两两相接的圆的圆心构成了等边三角形。

空间中，四个互相相切的球，圆心连线，自然是等边四面体，边长为d。

现在问题是，这个四棱锥里，空间大小究竟有多大。

就是要看看这个空间体积有多大，半径是$r$，且$\angle AOB=\angle BOC=\angle AOC = 60 ^\circ$

几何全还给老师了。查了一下stackoverflow， 这个体积可以这样算：先求出球面三角形面积，再用面积除以总面积，既可以得到体积占比。

算表面积这个事情也挺头疼，根查了一下可以靠L’Huilier’s Theorem 求解。

可以知道$S_{ABC}=R^2E$

其中$E$是spherical excess

这个球面三角形边长显然是$\frac{\pi}{3} r$

代入一下公式就知道$\tan\tfrac{1}{4}E = (\tan\tfrac{\pi}{12})^{3/2}$

所以$E = 4 \tan^{-1}(\tan^{3/2}(\pi/12)) = 0.5512855984325308079421441514644592429338506286901786961917004086$

那么假设$r=1$, 则球面三角形面积就是$E$

球面面积是$4\pi r^2$，所以体积就是$4\pi r^3/3 \times \frac{E}{4\pi r^2}=E/3$

所以这个球锥体体积是$0.18376186614$，总共四个角，乘以4体积是0.73504746456

四棱锥体积也好办，底面积是$\sqrt{3}$ 高是$2\sqrt{6}/3$,所以体积是$2\sqrt{2}/3=0.94280904158$

则球锥占体积的0.73504746456/0.94280904158=0.77963557002

也就是说，如果空间完全密铺，任意四个距离近的球都紧密到两两相切（事实上不可能），空间利用率就78%

所以能放进去最多$0.78V/ \frac{4\pi r^3}{3}$个球

当然我这个估计非常的粗糙。这个问题引申一下就是开普勒猜想，在1998年才得到完全的证明。高斯证明了空间利用率最高就是$\frac{\pi}{3\sqrt 2} \approx 0.74048$

极限应该是$\frac{\pi}{3\sqrt 2} V/ \frac{4\pi r^3}{3}$个球。

这个问题和物理学的联系，为什么出现在物理习题中：猜测和晶体学有关，晶格之类的把。

这个问题还挺有意思的，牛顿在1694讨论研究过一个球能否和13个不相交等直径球同时相切，直到1953年才有人数学证明13个球不可能。最多12个球相切。